Qual è la proprietà di chiusura dei linguaggi regolari sottoposti a concatenazione? Come si combinano le macchine a stati finiti per rappresentare l'unione dei linguaggi riconosciuti da due macchine?
Le proprietà di chiusura dei linguaggi regolari e i metodi per combinare macchine a stati finiti (FSM) per rappresentare operazioni come l'unione e la concatenazione sono concetti fondamentali nella teoria del calcolo e hanno implicazioni significative nel dominio della sicurezza informatica, in particolare nell'analisi e nella progettazione di algoritmi per la corrispondenza di modelli, sistemi di rilevamento delle intrusioni e altre applicazioni.
Proprietà di chiusura dei linguaggi regolari sotto concatenazione
Un insieme di lingue si dice chiuso da un'operazione se applicando tale operazione alle lingue all'interno dell'insieme si ottiene una lingua che è anch'essa all'interno dell'insieme. I linguaggi regolari, che possono essere riconosciuti dalle macchine a stati finiti, sono chiusi in diverse operazioni, tra cui unione, intersezione, complementazione e concatenazione.
Per l'operazione di concatenazione, if 
e 
sono linguaggi regolari, quindi la concatenazione 
è anche una lingua normale. La concatenazione di due lingue e è definito come:
![\[ L_1L_2 = \{ xy \mid x \in L_1 \text{ e } y \in L_2 \} \]](https://eitca.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dea18d2e2cb18e26dd7e47a79d58de49_l3.png "Resi da QuickLaTeX.com")
Per dimostrare la proprietà di chiusura sotto concatenazione, consideralo e sono riconosciuti dalle macchine a stati finiti 
e 
, rispettivamente. L’obiettivo è costruire una nuova macchina a stati finiti 
che riconosce la lingua .
Costruzione della macchina a stati finiti per la concatenazione
lasciare 
e 
essere le macchine a stati finiti che riconoscono e , rispettivamente. Qui, 
e 
sono gli insiemi di stati, 
è l'alfabeto di input comune, 
e 
sono le funzioni di transizione, 
e 
sono gli stati iniziali, e 
e 
sono gli insiemi degli stati accettanti.
Costruire la macchina a stati finiti che riconosce :
1. stati: L'insieme degli stati per is 
. Questo significa avrà tutti gli stati di entrambi e .
2. Alfabeto: L'alfabeto di input rimane lo stesso.
3. Funzione di transizione: La funzione di transizione 
of è definito come segue:
– Per gli stati in e input 
, si comporta come . Questo è, 
per 
.
– Per gli stati in e input , si comporta come . Questo è, 
per 
.
– Inoltre, per qualsiasi stato accettante 
e la stringa vuota 
, 
. Questa transizione consente essenzialmente alla macchina di passare da uno stato di accettazione allo stato iniziale di senza consumare alcun input.
4. Stato iniziale: Lo stato iniziale di è lo stato iniziale di , Che ha .
5. Stati accettanti: L'insieme degli stati accettanti di is 
. Questo significa accetta una stringa se raggiunge lo stato di accettazione di dopo aver elaborato l'intera stringa.
Seguendo questa costruzione, riconoscerà la concatenazione di e .
Esempio
Consideriamo due lingue regolari 
e 
. Permettere e essere macchine a stati finiti che riconoscono e , Rispettivamente.
- potrebbero avere stati 
con transizioni:
- 
- 
- 
- potrebbero avere stati 
con transizioni:
- 
- 
- 
Costruire per :
- Stati: 
– Le transizioni includono quelle di e , oltre a 
e 
- Stato iniziale:
– Stati accettanti: 
Combinazione di macchine a stati finiti per l'Unione
L'unione di due lingue e è definito come:
![\[ L_1 \cup L_2 = \{ x \mid x \in L_1 \text{ o } x \in L_2 \} \]](https://eitca.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-809399f96291a9f86abfc6ffc8cde7fb_l3.png "Resi da QuickLaTeX.com")
Costruire una macchina a stati finiti che riconosce l'unione di e , utilizziamo la costruzione dell'automa finito non deterministico (NFA). Se e sono le macchine a stati finiti per e , rispettivamente, la costruzione di è il seguente:
1. stati: L'insieme degli stati per is 
, Dove 
è un nuovo stato iniziale.
2. Alfabeto: L'alfabeto di input rimane lo stesso.
3. Funzione di transizione: La funzione di transizione è definito come:
- per
- per
- 
. Questa transizione consente alla macchina di scegliere in modo non deterministico di iniziare in uno dei due or .
4. Stato iniziale: Lo stato iniziale di è il nuovo stato .
5. Stati accettanti: L'insieme degli stati accettanti di is 
.
Questa costruzione lo garantisce accetta una stringa se è accettata da uno dei due or .
Esempio
Consideriamo due lingue regolari e . Permettere e essere macchine a stati finiti che riconoscono e , Rispettivamente.
- potrebbero avere stati con transizioni:
-
-
-
- potrebbero avere stati con transizioni:
-
-
-
Costruire per 
:
- Stati: 
– Le transizioni includono quelle di e , oltre a 
- Stato iniziale:
– Stati accettanti: 
Questa costruzione dimostra come le macchine a stati finiti possano essere combinate per rappresentare l'unione dei linguaggi che riconoscono, illustrando le proprietà di chiusura dei linguaggi regolari sotto unione e concatenazione.
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