Esiste una contraddizione tra la definizione di NP come classe di problemi decisionali con verificatori tempo-polinomiali e il fatto che anche i problemi della classe P hanno verificatori tempo-polinomiali?
La classe NP, che sta per Tempo polinomiale non deterministico, è centrale nella teoria della complessità computazionale e comprende problemi decisionali che hanno verificatori del tempo polinomiale. Un problema decisionale è un problema che richiede una risposta sì o no e un verificatore in questo contesto è un algoritmo che controlla la correttezza di una determinata soluzione.
È importante distinguere tra la risoluzione di un problema (computazione) e la verifica di una soluzione (verifica). In NP, l'attenzione è rivolta al fatto che esista un verificatore in tempo polinomiale che possa confermare la correttezza di una soluzione.
La classe P, che rappresenta il tempo polinomiale, include problemi decisionali risolvibili da una macchina di Turing deterministica entro il tempo polinomiale. Pertanto, per ogni problema in P, non solo esiste un algoritmo tempo-polinomiale per trovare una soluzione, ma esiste anche un algoritmo tempo-polinomiale per verificare una soluzione.
L'apparente contraddizione sta nell'osservazione che ogni problema in P, avendo intrinsecamente un algoritmo di risoluzione tempo-polinomiale, possiede anche un verificatore tempo-polinomiale. Tuttavia, ciò non contraddice la definizione di NP. La caratteristica distintiva di NP è l'esistenza di un verificatore tempo-polinomiale, indipendentemente da quanto tempo potrebbe essere necessario per trovare la soluzione. Ciò significa che tutti i problemi in P sono anche in NP, poiché le loro soluzioni possono essere verificate in tempo polinomiale.
Consideriamo ad esempio il problema del test dei numeri primi. Questo problema può essere inquadrato in due modi: generare numeri primi e verificare se un dato numero è primo. Il Setaccio di Eratostene è un algoritmo per generare tutti i numeri primi fino a un certo limite e lo fa in modo efficiente, ma la sua complessità temporale non è polinomiale nel senso stretto utilizzato nella teoria della complessità computazionale; è spesso indicato come O(n log log n), che è migliore di lineare ma non strettamente polinomiale secondo la definizione di P. D'altra parte, il problema di verificare se un dato numero è primo (test dei numeri primi) è un compito diverso. Algoritmi efficienti come il test di primalità AKS consentono la verifica dei primi in tempo polinomiale. Pertanto, il problema del test dei numeri primi, nel contesto della verifica, rientra nella classe P, così come in NP, perché una soluzione (se un numero è primo) può essere verificata in tempo polinomiale. Ciò dimostra che, sebbene la generazione dei numeri primi e il test dei numeri primi siano correlati, implicano considerazioni diverse in termini di complessità computazionale.
In conclusione, la definizione di NP come avente verificatori tempo polinomiale è in linea con la natura di P. La distinzione non sta nella fase di verifica ma nel processo di ricerca delle soluzioni: i problemi P sono risolvibili e verificabili in tempo polinomiale, mentre i problemi NP sono verificabili in tempo polinomiale, ma non è sempre noto se possano essere risolti in tempo polinomiale.
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