Le chiavi pubbliche vengono trasferite segretamente in RSA?

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Il sistema crittografico RSA, che prende il nome dai suoi inventori Rivest, Shamir e Adleman, è una pietra angolare della crittografia a chiave pubblica. È ampiamente utilizzato per proteggere i dati sensibili trasmessi su Internet. Uno degli aspetti più intriganti dell'RSA è l'utilizzo di una coppia di chiavi: una chiave pubblica, che può essere condivisa apertamente, e una chiave privata, che deve essere mantenuta segreta. Questo meccanismo a doppia chiave consente, tra le altre applicazioni, comunicazioni sicure e firme digitali.

L'algoritmo RSA funziona secondo il principio della difficoltà computazionale di fattorizzare numeri compositi di grandi dimensioni. La sicurezza dell'RSA si basa sul fatto che, mentre è relativamente facile moltiplicare insieme due grandi numeri primi per produrre un numero composto, è computazionalmente impossibile invertire il processo, cioè fattorizzare nuovamente il numero composto nelle sue componenti prime. entro un arco di tempo ragionevole, considerati gli attuali vincoli tecnologici.

Per generare una coppia di chiavi RSA, è necessario seguire questi passaggi:

1. Seleziona due numeri primi grandi distinti, p e q:
I numeri primi dovrebbero essere scelti casualmente e indipendentemente l’uno dall’altro. Il prodotto di questi due numeri primi, n = pq, fa parte sia della chiave pubblica che di quella privata.

2. Calcolare n:
n è il modulo sia per la chiave pubblica che per quella privata. È un numero composito di grandi dimensioni difficile da fattorizzare.

3. Calcola il totale \phi(n):
Il paziente \phi(n) è dato da (p-1)(q-1). Questo valore viene utilizzato nel processo di generazione della chiave ma non fa parte della chiave pubblica.

4. Scegli un numero intero e:
e dovrebbe essere scelto in modo tale 1 < e < \phi(n) e \gcd(e, \phi(n)) = 1. Questo significa e e \phi(n) sono coprimi. L'intero e è l'esponente pubblico e fa parte della chiave pubblica.

5. Determinare d:
d è l'inverso moltiplicativo modulare di e modulo \phi(n). In altre parole, d è l'intero tale che ed \equiv 1 \mod \phi(n). Il valore d è l'esponente privato ed è tenuto segreto.

La chiave pubblica è composta dalla coppia (n, e)e la chiave privata è composta dalla coppia (n, d). La chiave pubblica può essere distribuita e utilizzata apertamente da chiunque per crittografare i messaggi destinati al proprietario della chiave. Tuttavia, solo il proprietario della chiave privata può decrittografare questi messaggi.

La questione se la chiave pubblica venga trasferita segretamente in RSA è fondamentale per comprendere i meccanismi e la sicurezza del sistema. In RSA la chiave pubblica non viene trasferita segretamente; piuttosto, è progettato per essere distribuito apertamente. La sicurezza di RSA non si basa sulla segretezza della chiave pubblica ma sulla segretezza della chiave privata e sulla difficoltà computazionale di derivare la chiave privata dalla chiave pubblica.

Esempio di generazione e crittografia di chiavi RSA

Consideriamo un esempio semplificato con numeri primi piccoli per illustrare il processo di generazione e crittografia della chiave RSA:

1. Seleziona due numeri primi grandi distinti:
lasciare p = 61 e q = 53.

2. Calcolare n:
n = pq = 61 \volte 53 = 3233.

3. Calcola il totale \phi(n):
\phi(n) = (p-1)(q-1) = 60 \times 52 = 3120.

4. Scegli un numero intero e:
lasciare e = 17. Dobbiamo garantirlo \gcd(e, \phi(n)) = 1. Poiché 17 è coprimo con 3120, è una scelta valida.

5. Determinare d:
d è l'inverso moltiplicativo modulare di 17 modulo 3120. Utilizzando l'algoritmo euclideo esteso, lo troviamo d = 2753, da 17 \times 2753 \equiv 1 \mod 3120.

La chiave pubblica è (n, e) = (3233, 17)e la chiave privata è (n, d) = (3233, 2753).

Per crittografare un messaggio m utilizzando la chiave pubblica, si calcolerebbe il testo cifrato c come segue:

    \[ c \equiv m^e \mod n \]

Per decifrare il testo cifrato c utilizzando la chiave privata, si calcolerebbe il messaggio originale m come segue:

    \[ m \equiv c^d \mod n \]

Ad esempio, se il messaggio m = 65, il processo di crittografia sarebbe:

    \[ c \equiv 65^{17} \mod 3233 \circa 2790 \]

Per decifrare il testo cifrato c = 2790, il processo di decrittazione sarebbe:

    \[ m \equiv 2790^{2753} \mod 3233 \circa 65 \]

Implicazioni sulla sicurezza

La sicurezza dell'RSA si basa sulla difficoltà di fattorizzare il modulo n. Se un avversario potesse tenere conto n nei suoi componenti primi p e q, potrebbero calcolare il totale \phi(n) e successivamente determinare la chiave privata d. Tuttavia, per valori sufficientemente grandi di p e q, fattorizzazione n è computazionalmente irrealizzabile.

L'apertura della chiave pubblica è un aspetto fondamentale della progettazione di RSA. Consentendo la distribuzione aperta della chiave pubblica, RSA consente una comunicazione sicura tra parti che non hanno mai incontrato o scambiato chiavi in ​​modo sicuro. Ciò è in netto contrasto con la crittografia a chiave simmetrica, in cui la chiave deve essere mantenuta segreta e scambiata in modo sicuro tra le parti.

Considerazioni pratiche

In pratica, la lunghezza della chiave RSA è in genere pari o superiore a 2048 bit per garantire la sicurezza. La scelta dell'esponente pubblico e è spesso 65537 (che è 2^{16} + 1) perché è un numero primo che fornisce un buon equilibrio tra sicurezza ed efficienza computazionale.

È anche importante considerare l’implementazione della RSA. Le vulnerabilità possono derivare da un'implementazione impropria, da attacchi side-channel o da una generazione inadeguata di numeri casuali per la creazione delle chiavi. Pertanto, è essenziale utilizzare librerie crittografiche consolidate e seguire le migliori pratiche.

In RSA la chiave pubblica non viene trasferita segretamente; è destinato ad essere distribuito apertamente. La sicurezza di RSA si basa sulla segretezza della chiave privata e sulla difficoltà computazionale di fattorizzare numeri compositi di grandi dimensioni. Comprendendo questi principi, è possibile apprezzare l'eleganza e la robustezza del sistema crittografico RSA nel proteggere le comunicazioni digitali.

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