Quante chiavi vengono utilizzate dal sistema crittografico RSA?

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Il sistema crittografico RSA, che prende il nome dai suoi inventori Rivest, Shamir e Adleman, è una forma ampiamente utilizzata di crittografia a chiave pubblica. Questo sistema ruota fondamentalmente attorno all’utilizzo di due chiavi distinte ma matematicamente legate: la chiave pubblica e la chiave privata. Ognuna di queste chiavi svolge un ruolo fondamentale nei processi di crittografia e decrittografia, garantendo comunicazioni sicure su canali potenzialmente non sicuri.

Generazione di chiavi in ​​RSA

Il processo di generazione delle chiavi pubblica e privata in RSA prevede diversi passaggi radicati nella teoria dei numeri, in particolare nelle proprietà dei numeri primi e nell'aritmetica modulare. Ecco una ripartizione dettagliata del processo di generazione delle chiavi:

1. Selezione dei numeri primi: Il primo passo prevede la scelta di due grandi numeri primi distinti, indicati come p e q. Questi numeri primi dovrebbero avere all'incirca la stessa lunghezza per garantire la sicurezza del sistema RSA.

2. Calcolare n: Si calcola il prodotto dei due numeri primi:

    \[ n = p \volte q \]

Il valore n viene utilizzato come modulo sia per la chiave pubblica che per quella privata e fa parte della chiave pubblica.

3. Calcolare la funzione totiente di Eulero \phi(n): Funzione Toziente di Eulero, \phi(n), è calcolato come:

    \[ \phi(n) = (p - 1) \times (q - 1) \]

Questa funzione è importante per il processo di generazione delle chiavi, in particolare nel determinare i valori degli esponenti pubblici e privati.

4. Scegli l'esponente pubblico e: L'esponente pubblico e è scelto in modo tale che sia relativamente primo rispetto a \phi(n) (cioè il massimo comun divisore \gcd(e, \phi(n)) = 1). Scelte comuni per e includono 3, 17 e 65537, poiché questi valori raggiungono un equilibrio tra efficienza di crittografia e sicurezza.

5. Calcola esponente privato d: L'esponente privato d è calcolato come l'inverso moltiplicativo modulare di e modulo \phi(n):

    \[ d \times e \equiv 1 \pmod{\phi(n)} \]

Ciò significa che d soddisfare l'equazione d \volte e mod \phi(n) = 1.

Chiavi pubbliche e private in RSA

Il sistema crittografico RSA sfrutta le proprietà delle chiavi pubblica e privata per facilitare la comunicazione sicura. Ecco una descrizione dettagliata di ciascuna chiave:

- chiave pubblica: La chiave pubblica in RSA è composta dalla coppia (e,n). Questa chiave è distribuita apertamente e può essere utilizzata da chiunque desideri inviare un messaggio crittografato al proprietario della chiave. La chiave pubblica viene utilizzata nel processo di crittografia ed è progettata per essere ampiamente accessibile.

- chiave privata: La chiave privata è composta dalla coppia (d,n). Questa chiave deve essere mantenuta riservata dal proprietario della chiave, poiché viene utilizzata per decrittografare i messaggi crittografati utilizzando la chiave pubblica corrispondente. La chiave privata garantisce che solo il destinatario previsto possa accedere al messaggio in chiaro.

Processo di crittografia e decrittografia

I processi di crittografia e decrittografia RSA utilizzano le chiavi pubblica e privata come segue:

- crittografia: per crittografare un messaggio M, il mittente converte il messaggio in un numero intero m così 0 \leq m < n. Il testo cifrato c viene quindi calcolato utilizzando la chiave pubblica del destinatario (e,n):

    \[ c = m^e \mod n \]

Il testo cifrato risultante c viene poi trasmesso al destinatario.

- decrittazione: Dopo aver ricevuto il testo cifrato c, il destinatario utilizza la propria chiave privata (d,n) per decifrare il messaggio. Il messaggio in chiaro m viene recuperato calcolando:

    \[ m = c^d \mod n \]

Il destinatario può quindi convertire il numero intero m tornare al messaggio originale M.

Esempio di generazione e utilizzo di chiavi RSA

Per illustrare la generazione e l'utilizzo della chiave RSA, considerare per semplicità il seguente esempio con numeri primi piccoli:

1. Seleziona i numeri primi: Scegli p = 61 e q = 53.
2. Calcolare n:

    \[ n = 61 \volte 53 = 3233 \]

3. Calcolare \phi(n):

    \[ \phi(n) = (61 - 1) \times (53 - 1) = 60 \times 52 = 3120 \]

4. Scegli l'esponente pubblico e: Permettere e = 17 (una scelta comune).
5. Calcola esponente privato d: Trova d tale che:

    \[ d \times 17 \equiv 1 \pmod{3120} \]

Utilizzando l'algoritmo euclideo esteso, troviamo d = 2753.

Pertanto, la chiave pubblica è (17, 3233) e la chiave privata è (2753, 3233).

Per crittografare un messaggio M, convertire M in un numero intero m. supporre m = 65:

    \[ c = 65^{17} \mod 3233 = 2790 \]

Il testo cifrato c è 2790.

Per decifrare c, calcola:

    \[ m = 2790^{2753} \mod 3233 = 65 \]

Il messaggio decriptato è 65, che corrisponde al messaggio originale M.

Considerazioni sulla sicurezza

La sicurezza di RSA si basa sulla difficoltà computazionale di fattorizzare il grande numero composito n nei suoi fattori primi p e q. Più grandi sono i numeri primi p e q, più sicuro sarà il sistema RSA. In pratica, per garantire una solida sicurezza vengono comunemente utilizzati numeri primi di 2048 bit o più.

Inoltre, la sicurezza di RSA può essere compromessa se la chiave privata d è esposto o se i numeri primi p e q non sono scelti correttamente. Pertanto, pratiche sicure di generazione e gestione delle chiavi sono importanti per mantenere l'integrità del sistema crittografico RSA.

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