L'algoritmo Variational Quantum Eigensolver (VQE) è un algoritmo ibrido quantistico-classico progettato per trovare l'energia dello stato fondamentale di un dato hamiltoniano, che è un problema fondamentale nella chimica quantistica e nella fisica della materia condensata. L’algoritmo VQE sfrutta i punti di forza sia del calcolo quantistico che di quello classico per raggiungere questo obiettivo. L'ottimizzatore classico svolge un ruolo importante nell'algoritmo VQE regolando iterativamente i parametri di un circuito quantistico parametrizzato (ansatz) per ridurre al minimo il valore atteso dell'Hamiltoniano.
Ottimizzatore classico nell'algoritmo VQE
Nell'algoritmo VQE, il computer quantistico viene utilizzato per preparare gli stati quantistici e misurare i valori attesi dell'Hamiltoniano, mentre il computer classico gestisce il processo di ottimizzazione. L'ottimizzatore classico regola i parametri del circuito quantistico in base ai risultati della misurazione per trovare la configurazione energetica minima. Questo approccio ibrido è necessario perché, sebbene i computer quantistici siano abili nel gestire gli spazi di stato esponenzialmente grandi dei sistemi quantistici, attualmente non hanno la potenza computazionale per eseguire compiti di ottimizzazione in modo efficiente. I computer classici, d’altro canto, sono adatti per l’ottimizzazione ma faticano con la complessità esponenziale degli spazi degli stati quantistici.
L’algoritmo VQE può essere riassunto nei seguenti passaggi:
1. Inizializzazione: Scegli un circuito quantistico parametrizzato (ansatz) e inizializza i parametri.
2. Preparazione dello Stato: Utilizzare il circuito quantistico con i parametri attuali per preparare uno stato quantistico.
3. Misurazione: Misurare il valore atteso dell'Hamiltoniana sullo stato quantistico preparato.
4. OTTIMIZZAZIONE: Utilizzare un ottimizzatore classico per aggiornare i parametri in base ai risultati della misurazione.
5. Iterazione: Ripetere i passaggi 2-4 finché non viene raggiunta la convergenza, ovvero il valore atteso dell'Hamiltoniano è ridotto al minimo.
L'obiettivo dell'ottimizzatore classico è trovare l'insieme ottimale di parametri che minimizzino il valore atteso dell'Hamiltoniano, che corrisponde all'energia dello stato fondamentale del sistema.
Ottimizzatori classici in TensorFlow Quantum
TensorFlow Quantum (TFQ) è un framework software sviluppato da Google che integra il calcolo quantistico con TensorFlow, consentendo la creazione e l'addestramento di modelli ibridi quantistici-classici. Nel contesto di VQE, TFQ fornisce strumenti per definire circuiti quantistici parametrizzati, simulare misurazioni quantistiche e integrarsi con gli algoritmi di ottimizzazione di TensorFlow.
In TFQ, la fase di ottimizzazione classica può essere eseguita utilizzando vari ottimizzatori disponibili in TensorFlow. Questi ottimizzatori sono progettati per gestire i problemi di ottimizzazione non convessa tipicamente riscontrati in VQE. Alcuni ottimizzatori classici comuni utilizzati in TFQ includono:
- Ottimizzatore della discesa del gradiente: Un algoritmo di ottimizzazione del primo ordine che regola iterativamente i parametri nella direzione del gradiente negativo della funzione obiettivo.
- Adam ottimizzatore: Un algoritmo di ottimizzazione del tasso di apprendimento adattivo che combina i vantaggi degli algoritmi AdaGrad e RMSProp. È particolarmente adatto per gestire gradienti sparsi e funzioni obiettivo rumorose.
- Ottimizzatore L-BFGS: Un metodo quasi-Newton che approssima l'algoritmo Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS). È efficace per ottimizzare funzioni differenziabili con un gran numero di parametri.
Ottimizzatore specifico utilizzato in TFQ per VQE
Nell'implementazione specifica dell'algoritmo VQE in TensorFlow Quantum per hamiltoniani a 2 qubit, viene comunemente utilizzato l'ottimizzatore Adam. L'ottimizzatore Adam è stato scelto per la sua robustezza ed efficienza nel gestire la natura rumorosa e non convessa del panorama di ottimizzazione riscontrato nei problemi VQE.
L'ottimizzatore Adam regola i parametri utilizzando le seguenti regole di aggiornamento:
1. Calcola i gradienti: Calcola il gradiente della funzione obiettivo rispetto ai parametri.
2. Aggiorna la stima del primo momento distorta: Calcola la media con decadimento esponenziale dei gradienti passati (stima del primo momento).
3. Aggiorna la stima del secondo momento distorta: Calcola la media con decadimento esponenziale dei gradienti quadrati passati (stima del secondo momento).
4. Correzione del bias: Correggere la distorsione nelle stime del primo e del secondo momento.
5. Aggiornamento dei parametri: regolare i parametri utilizzando le stime corrette del primo e del secondo momento e un tasso di apprendimento predefinito.
Le equazioni di aggiornamento per l'ottimizzatore Adam sono le seguenti:
dove:
- è il gradiente al passo temporale
.
- che a
sono rispettivamente la stima del primo e del secondo momento.
- che a
sono le stime del primo e del secondo momento corrette per i bias.
- sono i parametri al passo temporale
.
- è il tasso di apprendimento.
- che a
sono i tassi di decadimento rispettivamente per le stime del primo e del secondo momento.
- è una piccola costante per impedire la divisione per zero.
Esempio di implementazione VQE in TFQ
Per illustrare l'implementazione VQE in TensorFlow Quantum, considera il seguente esempio per un hamiltoniano a 2 qubit. L'Hamiltoniano per questo esempio è dato da:
where che a
sono rispettivamente gli operatori Pauli-Z e Pauli-X.
I passaggi per implementare VQE in TFQ sono i seguenti:
1. Definisci l'Ansatz: Creare un circuito quantistico parametrizzato per preparare lo stato quantistico di prova.
python import tensorflow as tf import tensorflow_quantum as tfq import cirq import sympy # Define the qubits qubits = cirq.GridQubit.rect(1, 2) # Define the parameterized quantum circuit (ansatz) theta = sympy.Symbol('theta') circuit = cirq.Circuit( cirq.rx(theta)(qubits[0]), cirq.rx(theta)(qubits[1]), cirq.CNOT(qubits[0], qubits[1]) )
2. Definisci l'Hamiltoniano: Crea l'Hamiltoniano come operatore TensorFlow Quantum.
python # Define the Hamiltonian pauli_sum = cirq.Z(qubits[0]) * cirq.Z(qubits[1]) + cirq.X(qubits[0]) * cirq.X(qubits[1]) hamiltonian = tfq.convert_to_tensor([pauli_sum])
3. Creare il modello VQE: Definire un modello TensorFlow che prende i parametri come input e restituisce il valore atteso dell'Hamiltoniano.
python # Create the VQE model class VQEModel(tf.keras.Model): def __init__(self, circuit, hamiltonian): super(VQEModel, self).__init__() self.circuit = circuit self.hamiltonian = hamiltonian self.parameters = tf.Variable([0.0]) def call(self, inputs): circuit_tensor = tfq.convert_to_tensor([self.circuit]) expectation = tfq.layers.Expectation()(circuit_tensor, symbol_names=['theta'], symbol_values=[self.parameters], operators=self.hamiltonian) return expectation vqe_model = VQEModel(circuit, hamiltonian)
4. Ottimizzare i parametri: Utilizzare l'ottimizzatore di Adam per minimizzare il valore atteso dell'Hamiltoniana.
python # Define the optimizer optimizer = tf.keras.optimizers.Adam(learning_rate=0.1) # Define the training step @tf.function def train_step(): with tf.GradientTape() as tape: loss = vqe_model(None) gradients = tape.gradient(loss, vqe_model.trainable_variables) optimizer.apply_gradients(zip(gradients, vqe_model.trainable_variables)) return loss # Train the model for epoch in range(100): loss = train_step() print(f'Epoch {epoch + 1}, Loss: {loss.numpy()}')
Questo esempio dimostra l'integrazione di TensorFlow Quantum con l'ottimizzatore Adam per eseguire l'algoritmo VQE per un hamiltoniano a 2 qubit. L'ottimizzatore classico regola iterativamente i parametri del circuito quantistico per ridurre al minimo il valore atteso dell'Hamiltoniano, trovando infine l'energia dello stato fondamentale del sistema.
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