Le porte di rotazione parametrizzate svolgono un ruolo importante nel Variational Quantum Eigensolver (VQE), in particolare nel contesto dei framework di apprendimento automatico quantistico come TensorFlow Quantum. Queste porte sono strumentali nella costruzione dei circuiti quantistici variazionali utilizzati per approssimare l'energia dello stato fondamentale di un dato hamiltoniano. Il significato delle porte di rotazione parametrizzate in VQE può essere compreso attraverso il loro contributo all'esprimibilità e alla flessibilità dei circuiti quantistici, che sono essenziali per il processo di ottimizzazione.
In VQE, l'obiettivo è trovare l'autovalore minimo di un'hamiltoniana , che corrisponde all'energia dello stato fondamentale di un sistema quantistico. Ciò si ottiene parametrizzando un circuito quantistico con un insieme di variabili
e quindi ottimizzando questi parametri per ridurre al minimo il valore atteso
, Dove
è lo stato quantistico generato dal circuito. Le porte di rotazione parametrizzate
sono i componenti primari che introducono queste variabili nel circuito.
Rappresentazione matematica delle porte di rotazione parametrizzate
Le porte di rotazione parametrizzate sono tipicamente espresse utilizzando funzioni trigonometriche e generatori della corrispondente algebra di Lie. Per i qubit, le porte di rotazione più comuni sono le rotazioni attorno agli assi X, Y e Z della sfera di Bloch, indicate come ,
e
, rispettivamente. Queste porte possono essere rappresentate matematicamente come segue:
- Rotazione attorno all'asse X:
where è la matrice Pauli-X:
- Rotazione attorno all'asse Y:
where è la matrice Pauli-Y:
- Rotazione attorno all'asse Z:
where è la matrice Pauli-Z:
Queste porte di rotazione sono operazioni unitarie che possono essere applicate ai qubit per modificarne lo stato. Il parametro in ogni cancello rappresenta l'angolo di rotazione e variando
, si possono esplorare diversi stati quantistici.
Ruolo nei circuiti quantistici variazionali
Nel contesto della VQE, le porte di rotazione parametrizzate vengono utilizzate per costruire l'ansatz, che è una funzione d'onda di prova che si avvicina allo stato fondamentale dell'Hamiltoniano. L'ansatz è tipicamente un circuito quantistico composto da una sequenza di porte parametrizzate e porte entangleanti. Le porte di rotazione parametrizzate introducono i parametri variazionali nel circuito, consentendo l'ottimizzazione dello stato quantistico.
La flessibilità dell'ansatz è importante per il successo della VQE. Un ansatz ben progettato dovrebbe essere sufficientemente espressivo da coprire una porzione significativa dello spazio di Hilbert, compreso lo stato fondamentale dell'Hamiltoniano. Le porte di rotazione parametrizzate contribuiscono a questa espressibilità consentendo la sintonizzazione continua dello stato quantistico attraverso i parametri .
Ottimizzazione con Rotosolve
Rotosolve è un algoritmo di ottimizzazione progettato specificamente per circuiti quantistici con porte di rotazione parametrizzate. Sfrutta la natura trigonometrica di queste porte per trovare in modo efficiente i parametri ottimali. L’idea chiave alla base di Rotosolve è quella di ottimizzare un parametro alla volta mantenendo fissi gli altri, sfruttando il fatto che il valore di aspettazione dell’Hamiltoniana rispetto allo stato quantistico è una funzione trigonometrica del parametro da ottimizzare.
Per un dato parametro , il valore atteso
può essere scritto come:
where ,
e
sono coefficienti che dipendono dai parametri fissi e dall'Hamiltoniano. Il valore ottimale di
si trova risolvendo l’equazione:
che produce:
Aggiornando iterativamente ciascun parametro utilizzando questo approccio, Rotosolve può convergere in modo efficiente all'insieme ottimale di parametri che minimizzano il valore atteso dell'Hamiltoniano.
Esempio
Consideriamo un semplice problema VQE in cui l'Hamiltoniano è dato da:
where ,
,
e
sono operatori di Pauli che agiscono su due qubit. Una possibile risposta a questo problema potrebbe essere:
where che a
sono porte di rotazione che agiscono rispettivamente sul primo e sul secondo qubit e
è lo stato iniziale dei qubit.
Il valore di aspettativa dell’Hamiltoniano rispetto a questo ansatz è:
Per trovare i parametri ottimali che a
, possiamo usare Rotosolve. Per prima cosa, sistemiamo
e ottimizza
:
Risolvere per :
Successivamente, sistemiamo at
e ottimizza
:
Risolvere per :
Iterando questo processo, possiamo trovare i parametri ottimali che a
che minimizzano il valore atteso dell’Hamiltoniana.
Conclusione
Le porte di rotazione parametrizzate sono componenti fondamentali nella costruzione di circuiti quantistici variazionali per VQE. La loro importanza risiede nella loro capacità di introdurre parametri sintonizzabili nel circuito quantistico, consentendo l'ottimizzazione dello stato quantistico per approssimare lo stato fondamentale di un dato hamiltoniano. La rappresentazione matematica di queste porte utilizzando funzioni e generatori trigonometrici fornisce un quadro chiaro per la loro implementazione e ottimizzazione. L'algoritmo Rotosolve migliora ulteriormente l'efficienza di questo processo di ottimizzazione sfruttando la natura trigonometrica della funzione del valore atteso.
Altre domande e risposte recenti riguardanti EITC/AI/TFQML TensorFlow Quantum Machine Learning:
- Quali sono le conseguenze del raggiungimento della supremazia quantistica?
- Quali sono i vantaggi dell'utilizzo dell'algoritmo Rotosolve rispetto ad altri metodi di ottimizzazione come SPSA nel contesto di VQE, in particolare per quanto riguarda la fluidità e l'efficienza della convergenza?
- In che modo l'algoritmo Rotosolve ottimizza i parametri (θ) in VQE e quali sono i passaggi chiave coinvolti in questo processo di ottimizzazione?
- Come viene calcolato il valore atteso di un operatore ( A ) in uno stato quantistico descritto da ( ρ ) e perché questa formulazione è importante per VQE?
- Qual è il ruolo della matrice di densità ( ρ ) nel contesto degli stati quantistici e in cosa differisce per gli stati puri e misti?
- Quali sono i passaggi chiave coinvolti nella costruzione di un circuito quantistico per un hamiltoniano a due qubit in TensorFlow Quantum e in che modo questi passaggi garantiscono la simulazione accurata del sistema quantistico?
- Come vengono trasformate le misurazioni nella base Z per i diversi termini di Pauli e perché questa trasformazione è necessaria nel contesto della VQE?
- Che ruolo gioca l'ottimizzatore classico nell'algoritmo VQE e quale ottimizzatore specifico viene utilizzato nell'implementazione TensorFlow Quantum descritta?
- In che modo il prodotto tensoriale (prodotto Kronecker) delle matrici di Pauli facilita la costruzione di circuiti quantistici in VQE?
- Qual è il significato di decomporre un'hamiltoniana in matrici di Pauli per implementare l'algoritmo VQE in TensorFlow Quantum?
Visualizza altre domande e risposte in EITC/AI/TFQML TensorFlow Quantum Machine Learning
Altre domande e risposte:
- Settore: Intelligenza Artificiale
- programma: EITC/AI/TFQML TensorFlow Quantum Machine Learning (vai al programma di certificazione)
- Lezione: Eigensolver quantistico variazionale (VQE) (vai alla lezione correlata)
- Argomento: Ottimizzazione dei VQE con Rotosolve in Tensorflow Quantum (vai all'argomento correlato)
- Revisione d'esame