In quali condizioni l’entropia di una variabile casuale svanisce, e cosa implica questo per la variabile?

L'entropia di una variabile casuale si riferisce alla quantità di incertezza o casualità associata alla variabile. Nel campo della sicurezza informatica, in particolare nella crittografia quantistica, è importante comprendere le condizioni in cui l'entropia di una variabile casuale svanisce. Questa conoscenza aiuta a valutare la sicurezza e l'affidabilità dei sistemi crittografici.

L'entropia di una variabile casuale X è definita come la quantità media di informazioni, misurata in bit, necessaria per descrivere i risultati di X. Quantifica l'incertezza associata alla variabile, dove un'entropia più elevata indica una maggiore casualità o imprevedibilità. Al contrario, quando l’entropia è bassa o svanisce, ciò implica che la variabile è diventata deterministica, il che significa che i suoi risultati possono essere previsti con certezza.

Nel contesto dell'entropia classica, le condizioni in cui l'entropia di una variabile casuale svanisce dipendono dalla distribuzione di probabilità della variabile. Per una variabile casuale discreta X con una funzione di massa di probabilità P(X), l'entropia H(X) è data dalla formula:

H(X) = – Σ P(x) log2 P(x)

dove si effettua la somma di tutti i possibili valori x che X può assumere. Quando l'entropia H(X) è uguale a zero, significa che non vi è alcuna incertezza o casualità associata a X. Ciò si verifica quando la funzione di massa di probabilità P(X) assegna una probabilità pari a 1 a un singolo risultato e una probabilità pari a 0 a tutti i risultati. altri risultati. In altre parole, la variabile diventa completamente deterministica.

Per illustrare questo concetto, consideriamo il lancio di una moneta. La variabile casuale X rappresenta l'esito del lancio, con due possibili valori: testa (H) o croce (T). In questo caso, la funzione massa di probabilità è P(H) = 0.5 e P(T) = 0.5. Calcolo dell'entropia utilizzando la formula sopra:

H(X) = – (0.5 * log2(0.5) + 0.5 * log2(0.5))
= – (0.5 * (-1) + 0.5 * (-1))
= – (-0.5 – 0.5)
= – (-1)
= 1 bit

L'entropia del lancio della moneta è 1 bit, indicando che vi è incertezza o casualità associata al risultato. Tuttavia, se la moneta è distorta e dà sempre testa, la funzione di massa di probabilità diventa P(H) = 1 e P(T) = 0. Il calcolo dell’entropia diventa:

H(X) = – (1 * log2(1) + 0 * log2(0))
= – (1 * 0 + 0 * non definito)
= – (0 + indefinito)
= indefinito

In questo caso, l'entropia è indefinita perché il logaritmo zero è indefinito. Tuttavia, ciò implica che la variabile X è diventata deterministica, poiché produce sempre testa.

L'entropia di una variabile casuale nel contesto dell'entropia classica svanisce quando la distribuzione di probabilità assegna una probabilità pari a 1 a un singolo risultato e una probabilità pari a 0 a tutti gli altri risultati. Ciò indica che la variabile diventa deterministica e perde la sua casualità o imprevedibilità.

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