Quando abbiamo due o più percorsi accettabili in una macchina non deterministica, quale scegliamo e quali criteri possiamo utilizzare?
Nell'ambito della teoria della complessità computazionale, in particolare nello studio delle macchine a stati finiti, il concetto di non determinismo gioca un ruolo importante.
Le macchine a stati finiti non deterministici (NFSM) sono modelli teorici che consentono di intraprendere più percorsi accettabili in un dato stato. Tuttavia, di fronte a una situazione del genere, sorge spontanea la domanda: quale strada scegliere?
Questa domanda tocca la nozione di "accettazione" negli NFSM e i criteri che possono essere utilizzati per prendere una decisione.
Per comprendere il processo di selezione, esploriamo prima la natura del non determinismo negli NFSM. A differenza delle macchine deterministiche a stati finiti (DFSM), le NFSM non possiedono una transizione unica per ogni possibile simbolo di input in ciascuno stato. Consentono invece l'esistenza di più transizioni per lo stesso simbolo di input. Questa caratteristica porta alla possibilità di avere più percorsi da seguire a partire da un unico stato, con conseguenti risultati potenzialmente diversi.
Di fronte a una situazione del genere, gli NFSM utilizzano un meccanismo chiamato "ramificazione" per esplorare simultaneamente tutti i percorsi possibili. Ciò significa che la macchina crea più copie di se stessa, ognuna seguendo un percorso diverso. Di conseguenza, l’NFSM può essere visto come un’esplorazione di una struttura ad albero, in cui ciascun ramo rappresenta un diverso percorso di calcolo. Questa tecnica di ramificazione è fondamentale nell'analisi delle NFSM e della loro complessità computazionale.
Ora, consideriamo i criteri che possono essere impiegati per scegliere un percorso specifico tra i molteplici accettabili. Un approccio comune è quello di considerare il concetto di "accettazione" negli NFSM. L'accettazione si riferisce alla condizione che determina se un dato input è considerato valido o meno dalla macchina. Negli NFSM, l'accettazione può essere definita in due modi principali: "accettazione per stato finale" e "accettazione per pila vuota".
L'accettazione da parte dello stato finale avviene quando, dopo aver consumato l'intera stringa di input, l'NFSM finisce in uno stato designato come stato finale. Questo criterio implica che la macchina accetti l'input se esiste almeno un percorso di calcolo che porta ad uno stato finale. Al contrario, se nessun percorso conduce ad uno stato finale, l’input viene rifiutato.
L’accettazione tramite stack vuoto, d’altro canto, è rilevante quando gli NFSM incorporano uno stack come componente aggiuntivo. In questo scenario, l'accettazione avviene quando la stringa di input è completamente elaborata e lo stack diventa vuoto. Similmente all'accettazione tramite stato finale, se esiste almeno un percorso di calcolo che risulta in uno stack vuoto, l'input viene accettato; in caso contrario, viene rifiutato.
Dati questi criteri, la selezione di un percorso specifico tra i molteplici accettabili in una macchina non deterministica può essere determinata dando priorità alle condizioni di accettazione. Ad esempio, se l’accettazione da parte dello stato finale fosse il criterio primario, la macchina sceglierebbe il percorso che porta a uno stato finale, indipendentemente da altri possibili percorsi. Al contrario, se l'accettazione tramite pila vuota fosse il criterio principale, la macchina darebbe priorità al percorso che risulta in una pila vuota.
È importante notare che la scelta del percorso negli NFSM non influisce sulla potenza computazionale della macchina. Indipendentemente dal percorso scelto, l'NFSM può comunque riconoscere lo stesso insieme di linguaggi di qualsiasi altro NFSM per un dato input. Il processo di selezione determina semplicemente l'accettazione o il rifiuto del contributo in base ai criteri specificati.
Di fronte a più percorsi accettabili in una macchina non deterministica, la scelta del percorso può essere determinata dando priorità alle condizioni di accettazione, come l'accettazione per stato finale o l'accettazione per pila vuota. Il processo di selezione non influisce sulla potenza di calcolo della macchina ma influenza se l'input viene accettato o rifiutato.
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