Se abbiamo due TM che descrivono un linguaggio decidibile, la questione dell’equivalenza è ancora indecidibile?
Nel campo della teoria della complessità computazionale, il concetto di decidibilità gioca un ruolo fondamentale. Una lingua si dice decidibile se esiste una macchina di Turing (TM) in grado di determinare, per ogni dato input, se appartiene o meno alla lingua. La decidibilità di una lingua è una proprietà importante, poiché ci consente di ragionare sulla lingua e sulle sue proprietà in modo algoritmico.
La questione dell'equivalenza per le macchine di Turing riguarda la determinazione se due date TM riconoscono la stessa lingua. Formalmente, date due TM M1 e M2, la domanda di equivalenza chiede se L(M1) = L(M2), dove L(M) rappresenta la lingua riconosciuta dalla TM M.
È noto che il problema generale di determinare l'equivalenza di due TM è indecidibile. Ciò significa che non esiste un algoritmo in grado di decidere sempre se due TM arbitrarie riconoscono o meno la stessa lingua. Questo risultato è stato dimostrato da Alan Turing nel suo lavoro fondamentale sulla computabilità.
Tuttavia, è importante notare che questo risultato vale per il caso generale di TM arbitrarie. Nel caso specifico in cui entrambe le TM descrivono linguaggi decidibili, la questione dell'equivalenza diventa decidibile. Questo perché le lingue decidibili sono quelle per le quali esiste una TM che può decidere l'appartenenza alla lingua. Pertanto, se due TM descrivono linguaggi decidibili, possiamo costruire una nuova TM che ne decide l’equivalenza.
Per illustrare ciò, consideriamo un esempio. Supponiamo di avere due TM M1 e M2 che descrivono linguaggi decidibili. Possiamo costruire una nuova TM M che ne decide l'equivalenza come segue:
1. Dato un input x, simula M1 su x e M2 su x simultaneamente.
2. Se M1 accetta x e M2 accetta x, allora accetta.
3. Se M1 rifiuta x e M2 rifiuta x, allora accetta.
4. Altrimenti rifiuta.
Per costruzione, la TM M accetterà un input x se e solo se sia M1 che M2 accettano x, o entrambi M1 e M2 rifiutano x. Ciò significa che M decide l'equivalenza di M1 e M2 per ogni dato input x.
Mentre il problema generale di determinare l'equivalenza di due TM arbitrarie è indecidibile, se le TM descrivono linguaggi decidibili, la questione dell'equivalenza diventa decidibile. Questo perché i linguaggi decidibili possono essere decisi da una TM, permettendoci di costruire una TM che ne decida l’equivalenza. La decidibilità della domanda di equivalenza per le TM che descrivono linguaggi decidibili fornisce importanti spunti sulla complessità computazionale di questi linguaggi.
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